Questions de Physique : Mouvement rectiligne et chute libre.

1. Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa trajectoire est rectiligne et sa vitesse constante.

Equation horaire : $latex x =v \times t $ 

• x : espace parcouru en mètres;
• v : vitesse constante en m/s;
• t : temps ou durée du mouvement exprimé en s.

2. Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)

Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré :

• Si sa trajectoire est rectiligne,
• Si son accélération est constante.

Equation horaire : $latex x =\frac{1}{2}a.t^{2}+v_{o}.t+x_{o} $  (expression algébrique)

Expression de la vitesse : $latex v =a.t+v_{o} $  (dérivée rapport au temps de l’espace parcouru)

Expression de l’accélération : a = C^ste .

• x : espace parcouru en mètres;
• a : accélération en m/s² ;
• x₀ : abscisse initiale (abscisse du mobile à l’instant t = 0);
• t : durée du mouvement en m/s;
• Lorsque a > 0, le mouvement est accéléré;
• Lorsque a < 0, le mouvement est retardé;
• Lorsque a = 0, le mouvement est uniforme.

Remarque

a) Lorsque le mouvement est accéléré, le vecteur vitesse et le vecteur accélération ont même direction et même sens.

b) Lorsque le mouvement est retardé, le vecteur vitesse et le vecteur accélération ont même direction mais sont de sens contraires.

3. Chute libre sans vitesse initiale

Un mobile est animé d’un mouvement de chute libre lorsqu’il est soumis à l’action unique de son poids. L’accélération du mobile en mouvement de chute libre est : $latex \vec{g}$

Equation horaire : $latex g =\frac{1}{2}g.t^{2} $ 

Expression de la vitesse : $latex v = g.t $ 

4. Chute libre avec vitesse initiale

Equation horaire : $latex x =\frac{1}{2}g.t^{2}+v_{o}.t+h_{o} $  (expression algébrique)

Expression de la vitesse : $latex v =g.t+v_{o} $  (expression algébrique)

• Lorsque la vitesse initiale verticale est dirigée vers le bas, le mouvement est accéléré, $latex \vec{v} et \vec{g} $ont de même sens.
• Lorsque la vitesse initiale verticale est dirigée vers le haut, le mouvement est retardé, $latex \vec{v} et \vec{g} $ sont de sens contraires.

5. Relations particulières

*Relation donnant l’espace parcouru pendant la variation de vitesse :

$latex v^{2} – v_{0}^{2} = 2ax $

• v₀ est la vitesse initiale en m/s;
• v est la vitesse finale en m/s;
• a est l’accélération en m/s² ;
• x est la distance parcourue pendant la variation de vitesse, x en m.

*Un mobile animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié, parcourt pendant des intervalles de temps successifs égaux à θ (seconde), des espaces qui forment une progression arithmétique de raison: r=aθ²

* Espace parcouru pendant la n^ième seconde du mouvement un mobile animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié.

x_n – x_n-1 = a(n – 1/2);

• x_n – x_n-1 est l’espace parcouru pendant la nième seconde du mouvement.

APPLICATIONS

1. L’abscisse d’un corps se déplaçant le long d’un axe OX est donnée x=4t² – 3t -4,5, x et t étant respectivement exprimés en centimètres et en secondes. Le mouvement changera de sens au point dont l’abscisse vaut : A. – 4,5 cm; B. -81/16 cm; C. -9/16 cm; D. 99/16 cm; E. -45/16 cm. (E 1979)

Solution

Au moment où le mouvement change de sens, sa vitesse est nulle.

Expression de la vitesse : on dérive l’expression de l’espace parcouru rapport au temps et on obtient : v = 8t -3.

Changement de sens : v = 0 et la relation devient : 0 = 8t – 3, puis $latex t =\frac{3}{8}s $ vaut : $latex x = 4(\frac{3}{8})^{2}-3(\frac{3}{8})-4,5 $ et on obtient $latex x =-\frac{81}{16}cm$

Réponse : B

2. L’équation horaire d’un mouvement rectiligne effectué un un mobile s’écrit x = b + ct, où b et c sont des constantes différentes de zéro. On peut déduire que : a) L’accélération du mobile varie avec le temps; b) L’abscisse du mobile est nulle au temps t=0; c) L’accélération est constante et vaut b+c; d) La vitesse du mobile est toujours égale à c; e) L’abscisse du mobile est toujours positive. (E 1979)

Solution

Il s’agit d’un mouvement rectiligne uniforme dont l’équation horaire générale est : $latex x = x_0 + vt $. En comparant l’équation générale à l’équation du mobile, nous constatons que b est l’abscisse initiale, et que c est la vitesse constante.

Reprenons une une les propositions ;

1. L’accélération du mobile est nulle à chaque instant car il s’agit d’un mouvement rectiligne uniforme.
2. A l’instant t=0, l’abscisse du mobile vaut b ;
3. L’accélération est nulle et ne vaut donc pas b + c ;
4. La vitesse du mobile vaut à chaque instant c. OUI
5. L’abscisse du mobile dépend des valeurs données à b et à c, elle peut donc être négative.

 Réponse : d)

3. Une bille est lancée en l’air verticalement et de bas en haut avec une vitesse de 180 km/h. Si l’on néglige toute résistance, la bille repassera son point de départ après : a) 4,4 s; b) 10 s; c) 2,5 s; d) 5 s; e) 50 s. (E 1977)

Solution

Il s’agit d’un mouvement uniformément retardé d’accélération g. La bille va monter jusqu’à une hauteur h à laquelle sa vitesse s’annule, puis la bille va descendre, animée d’un mouvement uniformément accéléré d’accélération g.

Temps de la montée = temps de la descente.

Calculons le temps de la montée : $latex v_0 = 180 km/h ou 50 m/s. $

V = gt avec $latex v_0 = 50 m/s, v = 0, et g < 0 $

Nous obtenons : 0 = -10t + 50 et t = 5s.

Le temps de la montée vaut : 5 s.

La bille repassera son point de départ : 5s × 2 = 10 s après.

 Réponse : B

4. Un corps en chute libre dans le vide, parcourt 10 mètres pendant sa dernière seconde de chute. Il a été lâché d’une hauteur égale à : a) 20 m; b) 11,25 m; c) 1,25 m; d) 15 m; e) 31,25 m; (E 1978)

Solution

La dernière seconde de chute est la nième seconde.

L’espace parcouru pendant la nième seconde de chute un mobile est donné la relation : $latex x_-x_(n-1) = g(n-1/2) $

Donc $latex x_-x_(n-1) = 10 m et g = 10 m/s^{2} $.

On obtient : 10 = 10 (n-1/2) et n = 3/2 s.

La chute a duré 3/2 secondes.

En 3/2 secondes, un corps en chute libre parcourt une distance : $latex x = \frac{1}{2}gt^{2} $

On obtient : $latex x = \frac{1}{2} . 10. (3/)^{2} $

X = 11,25 m.

Le corps a été lâché d’une hauteur de 11,25 m.

 Réponse : B

5. Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, les espaces parcourus pendant des intervalles successifs de temps de 0,25 s augmentent chaque fois de 1 m. L’accélération du mouvement vaut donc : a) 2m/s² b) 0m/s² c) 32m/s² d) 16m/s² e) 1/4 m/s² (E 1978)

Solution

Un mobile animé d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré parcourt pendant des intervalles de temps successifs égaux à θs, des espaces qui forment une progression arithmétique de raison r = aθ²

L’espace parcouru augmente de 1 m pendant des intervalles de temps successifs égaux à q = ,25 s ou ¼ s.

La raison vaut donc r = 1.

On obtient : $latex a = \frac{r}{q}^{2} et a = \frac{1}{1/4}^{2} m/s^{2} $

Réponse : D

6. On donne g = 9,8 m/s². Une pierre lancée verticalement atteint après une seconde une hauteur de 10 mètres. La vitesse initiale de la pierre vaut : (E 1978)

A. 10 m/s    B. 19,6 m/s    C. 5,1 m/s       D. 9,8 m/s         E. 14,9 m/s

Solution

Il s’agit d’un mouvement uniformément retardé vertical, d’accélération g<0.

L’équation horaire du mouvement est : $latex x = \frac{1}{2}gt^{2}  + v_0 t $

Avec t = 1s et x = 10 m.

$latex 10 = \frac{1}{2} . 9,8  + v_0 $

La vitesse initiale de la pierre vaut v₀ = 5,1 m/s

Réponse : C

7. L’abscisse d’un mobile se déplaçant le long d’un axe Ox est donnée x = 4 t² -3 t – 4,5 où x et t sont respectivement exprimés en mètres et en secondes. (E 1980)

A 1instant t = 0, la vitesse du mobile vaudra : A. 8 m/s     B. 9 m/s       C. 3 m/s    D. -4,5 m/s      E. -3 m/s

Solution

L’accélération donnée est celle d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré. L’équation horaire générale est : $latex x = \frac{1}{2}at^{2}  + v_0 t + x_0 $ dans laquelle v₀ représente la vitesse initiale du mobile.

Donc à 1instant t=0, la vitesse du mobile vaudra : v₀ = -3 m/s.

8. On donne g = 10 m/s². Un corps en chute libre parcourt 95 m pendant sa dernière seconde de chute. Il a donc été lâché d’une hauteur qui vaut : (E 1980)

1. 500 m. 2. 810 m.  3. 405 m. 4. 400 m. 5. 202,5 m.

Solution :

L’espace parcouru un mobile animé d ‘un mouvement rectiligne uniformément accéléré pendant la nième seconde de son mouvement est donné la relation : x_n – x_n-1 = g(n – ½)

Déterminons la durée de la chute. Elle dure n secondes.

95 = 10 (n – 1/2)

9,5 = n – 1/2  et donc n = 10 s.

L’espace parcouru un corps en chute libre pendant 10s est donné la relation : $latex x = \frac{1}{2}gt^{2} $

Þ  $latex x = \frac{1}{2}.10.100 = 500 m $

Le corps qui parcourt 95 m pendant sa dernière seconde de chute est lâché d’une hauteur de 500 m.

Réponse : 1