1. Les 4 points A, B, C et D sont alignés. C se trouve entre A et B, et D se trouve sur le prolongement de AB. Les coordonnées de A et B sont respectivement (-3,2) et (6,-12).
a) Trouver les coordonnées de C, sachant que AC:CB = 1/3
b) Trouver les coordonnées de D, sachant que AD:DB = -3/2
Solution
Pour C : l’abscisse x se calcule $latex \frac {AC}{CB} = \frac {x+3}{6-x} = \frac {1}{3}$
L’ordonnée y se calcule $latex \frac {AC}{CB} = \frac {y-2}{-12-y} = \frac {1}{3}$
On trouve ainsi 3x+9=6-x d’où x=-3/4 et 3y-6=-12-y
Pour D : l’abscisse x se calcule $latex \frac {AD}{DB} = \frac {x+3}{6-x} = \frac -{3}{2}$
L’ordonnée y se calcule $latex \frac {AD}{DB} = \frac {y-2}{-12-y} = \frac -{3}{2}$
On trouve ainsi 2x + 6 = -18 + 3x, d’où x = 24 et 2y – 4 = 36 + 3y, d’où y = -40.
2. Calculer la distance entre les points A(-6,1) et B(4,-5), sachant que $latex \theta = \frac {2\pi}{3}$
Solution
$latex \delta ^{2} = (4+6)^{2}+(1+5)^{2}-2(4+6)(1+5) cos \frac {3\pi}{3}$
$latex \delta ^{2} = 100+36-2.10.6(-1/2)=136+60=196=14^{2}$
$latex \delta ^{2} = (4+6)^{2}+(1+5)^{2}-2(4+6)(1+5) cos \frac {3\pi}{3}$
$latex \delta = 14$
3. Les sommets d’un triangle ont comme coordonnées A(1,3), B(-1,5) et C(-2,-6). Trouver les coordonnées du centre de gravité de ce triangle. $latex \theta = \frac {\pi}{2} $
Solution
Le centre de gravité se trouve sur la médiane BM (M étant le milieu de AC); or les coordonnées de M sont
$latex x = \frac {1-2}{2} = \frac {-1}{2}$
$latex y = \frac {3-6}{2} = \frac {-3}{2}$
Sur BM on a le rapport pour G: GB/GM = -2
Pour l’abscisse de G : $latex \frac {-1-x}{\frac -{-1}{2}-x}=-2$, d’où x=-2/3
Pour l’ordonnée de G : $latex \frac {5-y}{\frac -{-3}{2}-y}=-2$, d’où y=2/3