Définition
La loi de composition interne entre l’élément de E, est toute application d’une partie de A de EXE dans E.
Propriétés
a) Commutativité : la loi * est commutative dans R ssi $latex \forall a, b \in E a*b= b*a $ .
b) Commutativité : la loi * est commutative dans R ssi $latex \forall a, b, c \in E a*(b*c)= (a*b)*c $ .
c) Associativité : la loi * est associative dans R ssi $latex \forall a, b \in E a*b= b*a $ .
d) Elément neutre : L’élément neutre existe dans R ssi $latex \forall a, e \in E e*a= a \quad ou \quad a*e = a $ .
e) Elément idempotent : L’élément idempotent existe dans R ssi $latex \forall a \in E a*a=a \quad ou \quad a*a=a $ .
f) Elément absorbant : L’élément absorbant existe dans dans R ssi $latex \forall a \in E x*a=a \quad ou \quad a*x=a $ .
NOTA : Pour trouver ‘élément symétrique, il faut que l’élément neutre à gauche soit égal à l’élément neutre à droite.
Exercices
1) On définit dans l’ensemble R des réels la loi de composition *, x*y=x+y+3. L’élément symétrique de 1/2 est : (E 2000):
a) 11/2 b) -1/2 c) 13/2 d) -11/2 e) -13/2
Solution
a) Élément neutre
e*a = a ou a*e = a
e+a+3 = a et a+e+3=a
e=-3 et e=-3
b) Élément symétrique
a’ * a = e ou a*a’=e
a’ + a + 3 = -3 or a’ = 1/2
a = -13/2
2) Soit la loi de composition notée (*) définie dans R $latex *y =\frac{2x+2y-3}{2} $. Le symétrique de 1/2 vaut : (E 1998)
a) 5/2 b) -1 c) 3/2 d) 1 e) 2
Solution
$latex x+y =\frac{2x+2y-3}{2} $
a) Élément neutre
e * a = a ou a * e = a
$latex \frac{2e+2a-3}{2} = a $ et $latex \frac{2a+2e-3}{2} = a $
e = 3/2 et e = 3/2
b) Elément symétrique
a’ * a = e ou a * a’ = e
$latex \frac{2a’+2a-3}{2} = \frac{3}{2} $ or a’ = 1/2
a = 5/2
3) Dans l’ensemble R des réels, définit la loi *$latex \forall (a, b) \in E R^{2} . a*b = \frac{4a+4b-2}{4} $. Le symétrique de l’élément 3 cette loi dans R est : (E 2004)
a) -3 b) -2 c) 3 4) 2 5) 1
Réponse : a = -2
4) On définit dans R, la loi de composition $latex \perp $ $latex x \perp y = xy – 2x – 2y + 1 $. Les éléments idempotents la loi sont :
a) $latex \frac{-3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} $ b) $latex \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} $ c) $latex \frac{-3}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2} $ d) $latex \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{21}}{2} $ e) $latex \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{23}}{2} $
Réponse : d)
5) Dans l’ensemble R, on définit la loi * x*y = xy – 3x – 3y + 12. L’élément absorbant pour la loi * dans R est : (E 2012)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Réponse : e
6) Dans Q, on définit la loi de composition interne notée * x * y = y -x + yx + 3. Si (4 * – 1/3) * m = m * 1/2, alors m vaut : (E 2011)
a) 4/3 b) -1 c) 13/15 d) 13/7 e) 1
7) Dans l’ensemble R, l’opération * est définie $latex a*b =\frac{a+b+ab-1}{a+b-ab+1}$; x et y désignent respectivement l’élément neutre et l’élément idempotent. La somme de x et y vaut : (E 2011)
a) -1 b) -2 c) 0 d) 2 e) 1
Réponse : x + y = 2
8) On définit sur R2 , la loi de composition interne notée *, (a,b) * (a’,b’) = (aa’ – bb’;ab’ + a’b). (E 1983)
L’élément neutre est : a) (0,0) b) (1,0) c) (0,1) d) (-1,0) e) (-1,1)
L’élément de symétrie (1,1) est : a) (-1,-1) b) (2,1) c) (1/2, 1/2) d) (1/2, -1/2) e) (1/2, -1)
Réponse : L’élément neutre est (1,0); l’élément symétrique est (1/2, -1/2)
9) Sont définies dans Q, deux lois de composition interne $latex \ast $ et $latex \perp $ $latex x \ast y = x+y-1 $ et $latex x \perp y = x+y-xy $, qui font de ($latex Q, \ast, \perp $) un corps, m et n sont les symétriques de l’élément -1/2 respectivement pour les lois $latex \ast \perp $ . L’expression m+n vaut : (E 2012)
a) 1/2 b) 3/2 c) 17/6 d) 5/2 e) 7/2
Réponse : m+n = 17/6
10) Dans l’ensemble Q, on définit la loi $latex \ast $ $latex a \ast b = ab/2 $. (E 1986)
L’élément neutre est : a) 1 b) -1 c) 4 d) -2 e) 1
L’élément symétrique de 2 est : a) 2 b) 1 c) 4 d) 6 e) 8
Réponses : Elément neutre 2; Elément symétrique 2
11) On définit dans R la loi de composition interne
$latex a \ast b = \frac{a+b+ab-1}{a+b-ab+1} $. L’élément symétrique de 1/2 est : (E 1980)
12) Dans l’ensemble R des réels, on définit la loi * $latex \forall (a,b) \in R^{2}. a \star b = \frac {3a+3b-2}{3}$. Symétrique de l’élément 1/3 cette loi est : (E 1996)
a) 11/6. b) -7/6. c) 0. d) 13/12. e) 1
13) L’affirmation fausse est :
a) Dans (Q, *) n’est pas un groupe.
b) L’élément neutre n’est ni 0 ni 1 pour la loi *
c) (Q*, *) n’est pas un groupe abélien.
d) Le symétrique d’un rationnel non nul a pour la loi * est 1/4
e) b et d sont contradictoires
14) Dans l’ensemble Q, on définit la loi $latex \star $ $latex a \star b = \frac{a+b}{1-ab} $
L’élément neutre est : a) 2 b) 1/2 c) -1/2 d) 0 e) 1
L’élément symétrie de 1/2 est a) -2 b) 1 c) 1/2 d) -1/2 e) -1
15) Résoudre dans (Q* ,) le système $latex \left\{ $