Définition

La loi de composition interne entre l’élément de E, est toute application d’une partie de A de EXE dans E.

Propriétés

a) Commutativité : la loi * est commutative dans R ssi  .

b) Commutativité : la loi * est commutative dans R ssi  .

c) Associativité : la loi * est associative dans R ssi  .

d) Elément neutre : L’élément neutre existe dans R ssi  .

e) Elément idempotent : L’élément idempotent existe dans R ssi  .

f) Elément absorbant : L’élément absorbant existe dans dans R ssi  .

NOTA : Pour trouver ‘élément symétrique, il faut que l’élément neutre à gauche soit égal à l’élément neutre à droite.

Exercices

1) On définit dans l’ensemble R des réels la loi de composition *, par x*y=x+y+3. L’élément symétrique de 1/2 est : (E 2000):

a) 11/2        b) -1/2        c) 13/2         d) -11/2        e) -13/2

Solution

a) Élément neutre

e*a = a ou a*e = a

e+a+3 = a et a+e+3=a

e=-3 et e=-3

b) Élément symétrique

a’ * a = e ou a*a’=e

a’ + a + 3 = -3 or a’ = 1/2

a = -13/2

2) Soit la loi de composition notée (*) définie dans R par . Le symétrique de 1/2 vaut : (E 1998)

a) 5/2 b) -1 c) 3/2 d) 1 e) 2

Solution

a) Élément neutre

e * a = a ou a * e = a

et

e = 3/2 et e = 3/2

b) Elément symétrique

a’ * a = e ou a * a’ = e

or a’ = 1/2

a = 5/2

3) Dans l’ensemble R des réels, définit la loi *par . Le symétrique de l’élément 3 par cette loi dans R est : (E 2004)

a) -3 b) -2 c) 3 4) 2 5) 1

Réponse : a = -2

4) On définit dans R, la loi de composition par . Les éléments idempotents par la loi sont :

a) b) c) d) e)

Réponse : d)

5) Dans l’ensemble R, on définit la loi * par x*y = xy – 3x – 3y + 12. L’élément absorbant pour la loi * dans R est : (E 2012)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Réponse : e

6) Dans Q, on définit la loi de composition interne notée * par x * y = y -x + yx + 3. Si (4 * – 1/3) * m = m * 1/2, alors m vaut : (E 2011)

a) 4/3 b) -1 c) 13/15 d) 13/7 e) 1

7) Dans l’ensemble R, l’opération * est définie par ; x et y désignent respectivement l’élément neutre et l’élément idempotent. La somme de x et y vaut : (E 2011)

a) -1 b) -2 c) 0 d) 2 e) 1

Réponse : x + y = 2

8) On définit sur R² , la loi de composition interne notée *, par (a,b) * (a’,b’) = (aa’ – bb’;ab’ + a’b). (E 1983)

L’élément neutre est : a) (0,0) b) (1,0) c) (0,1) d) (-1,0) e) (-1,1)

L’élément de symétrie (1,1) est : a) (-1,-1) b) (2,1) c) (1/2, 1/2) d) (1/2, -1/2) e) (1/2, -1)

Réponse : L’élément neutre est (1,0); l’élément symétrique est (1/2, -1/2)

9) Sont définies dans Q, deux lois de composition interne et par et , qui font de () un corps, m et n sont les symétriques de l’élément -1/2 respectivement pour les lois . L’expression m+n vaut : (E 2012)

a) 1/2 b) 3/2 c) 17/6 d) 5/2 e) 7/2

Réponse : m+n = 17/6

10) Dans l’ensemble Q, on définit la loi par . (E 1986)

L’élément neutre est : a) 1 b) -1 c) 4 d) -2 e) 1

L’élément symétrique de 2 est : a) 2 b) 1 c) 4 d) 6 e) 8

Réponses : Elément neutre 2; Elément symétrique 2

11) On définit dans R la loi de composition interne

. L’élément symétrique de 1/2 est : (E 1980)

12) Dans l’ensemble R des réels, on définit la loi * par . Symétrique de l’élément 1/3 par cette loi est : (E 1996)

a) 11/6. b) -7/6. c) 0. d) 13/12. e) 1

13) L’affirmation fausse est :

a) Dans (Q, *) n’est pas un groupe.

b) L’élément neutre n’est ni 0 ni 1 pour la loi *

c) (Q*, *) n’est pas un groupe abélien.

d) Le symétrique d’un rationnel non nul a pour la loi * est 1/4

e) b et d sont contradictoires

14) Dans l’ensemble Q, on définit la loi par

L’élément neutre est : a) 2 b) 1/2 c) -1/2 d) 0 e) 1

L’élément symétrie de 1/2 est a) -2 b) 1 c) 1/2 d) -1/2 e) -1

15) Résoudre dans (Q^* ,) le système $latex \left\{ $