Problèmes de Géométrie Analytique : LE POINT

1. Les 4 points A, B, C et D sont alignés. C se trouve entre A et B, et D se trouve sur le prolongement de AB. Les coordonnées de A et B sont respectivement (-3,2) et (6,-12).

a) Trouver les coordonnées de C, sachant que AC:CB = 1/3

b) Trouver les coordonnées de D, sachant que AD:DB = -3/2

Solution

Pour C : l’abscisse x se calcule par $\frac {AC}{CB} = \frac {x+3}{6-x} = \frac {1}{3}$

L’ordonnée y se calcule par $\frac {AC}{CB} = \frac {y-2}{-12-y} = \frac {1}{3}$

On trouve ainsi 3x+9=6-x d’où x=-3/4 et 3y-6=-12-y

Pour D : l’abscisse x se calcule par $\frac {AD}{DB} = \frac {x+3}{6-x} = \frac -{3}{2}$

L’ordonnée y se calcule par $\frac {AD}{DB} = \frac {y-2}{-12-y} = \frac -{3}{2}$

On trouve ainsi 2x + 6 = -18 + 3x, d’où x = 24 et 2y – 4 = 36 + 3y, d’où y = -40.

2. Calculer la distance entre les points A(-6,1) et B(4,-5), sachant que $\theta = \frac {2\pi}{3}$

Solution

$\delta ^{2} = (4+6)^{2}+(1+5)^{2}-2(4+6)(1+5) cos \frac {3\pi}{3}$

$\delta ^{2} = 100+36-2.10.6(-1/2)=136+60=196=14^{2}$

$\delta ^{2} = (4+6)^{2}+(1+5)^{2}-2(4+6)(1+5) cos \frac {3\pi}{3}$

$\delta = 14$

3. Les sommets d’un triangle ont comme coordonnées A(1,3), B(-1,5) et C(-2,-6). Trouver les coordonnées du centre de gravité de ce triangle. $\theta = \frac {\pi}{2}$

Solution

Le centre de gravité se trouve sur la médiane BM (M étant le milieu de AC); or les coordonnées de M sont

$x = \frac {1-2}{2} = \frac {-1}{2}$

$y = \frac {3-6}{2} = \frac {-3}{2}$

Sur BM on a le rapport pour G: GB/GM = -2

Pour l’abscisse de G : $\frac {-1-x}{\frac -{-1}{2}-x}=-2$ , d’où x=-2/3

Pour l’ordonnée de G : $\frac {5-y}{\frac -{-3}{2}-y}=-2$ , d’où y=2/3

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